UMD property for Banach spaces and operator spaces - TEL

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UMD property for Banach spaces and operator spaces
yanqi Qiu
To cite this version:
yanqi Qiu. UMD property for Banach spaces and operator spaces. Functional Analysis [math.FA]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2012. English. ￿tel-00794951￿

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Submitted on 26 Feb 2013

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Université Pierre et Marie Curie
École Doctorale Paris Centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiques
présentée par
Yanqi Qiu
Propriété UMD pour les espaces de Banach et d’opérateurs
dirigée par Gilles Pisier Rapporteurs : Françoise Lust-Piquard et Javier Parcet

Soutenue le 13 Décembre 2012 devant le jury composé de :

Mme Françoise Lust-Piquard M. Javier Parcet M. Gilles Pisier M. Michel Talagrand M. Quanhua Xu M. Andrzej Żuk

Rapportrice Rapporteur Directeur Examinateur Examinateur Codirecteur

2

Institut de Mathématiques de Jussieu 175, rue du chevaleret 75 013 Paris

École doctorale Paris centre Case 188 4 place Jussieu 75 252 Paris cedex 05

Remerciement
Je tiens avant tout à remercier chaleureusement mon directeur de thèse Gilles Pisier. Avoir été initié par lui à la recherche mathématique a été un grand honneur. Les mathématiques qu’il m’a amené à apprendre m’ont rendu ces années très enrichissantes. Les nombreuses discussions stimulantes et les suggestions lumineuses m’ont été indispensables. Je le remercie aussi pour son soutien moral, ses qualités personnelles et sa nature aimable. Je profite de l’occasion pour lui adresser toute mon admiration.
Je remercie également Françoise Lust-Piquard et Javier Parcet pour avoir accepté d’être rapporteurs de mon travail. Je remercie sincèrement tous les membres du jury pour m’avoir fait l’honneur de venir participer à cette soutenance. Merci tout particulièrement à Andrzej Żuk, qui m’a fait faire mes premiers pas dans les algèbres d’opérateurs et qui m’a encouragé de temps en temps depuis mon master.
Je tiens un remerciement particulier à Quanhua Xu qui m’a invité de nombreuses fois à Besançon et à Wuhan, et avec qui j’ai eu de nombreux discussions. Merci à Eric Ricard pour m’avoir invité et discuté à Caen.
Lors de ma thèse j’ai été accuilli de nombreuses fois au département de mathématiques de Texas A&M University, je le remercie pour les excellentes conditions de séjour et de travail offertes.
Je remercie Yves Raynaud pour toutes ses aides concernant les affaires administratives pendant que je suis à l’Équipe d’Analyse Fonctionnelle de l’Institut de Mathématiques de Jussieu.
Je profite de l’occasion pour dire merci à Wen Zhiying qui m’a envoyé à poursuivre mes études en France, il continue à m’aider pendant que je suis à Beijing.
Je remercie mes amis à Paris pour l’ambiance amicale qu’ils ont créée, je pense à Yin Qizheng, Chen Yuanmi, Ma Yue, Wang Li, Ma Li, Lin Jie, Jiang Zhi, Fu Lie, Lin Shen, Zhang Yeping, Zhu Jialin, Wang Minmin, Wang Haoran, Liao Ben, Li Xiaoxi, Yan Jingzhi, Zhu Shujia et bien d’autres. Je remercie Romain Nguyen van yen pour son amitié et son aide sur le français dès ma première année en France. Je remercie Kate Juschenko, Mikael de la Salle, Hong Guixiang, Xiong Xiao pour les mathématiques qu’ils m’ont fait partager. Je remercie à Yang Yuping, Yang Min pour leur accueil chaleureux à Texas A&M University.
Merci à mes parents, ma grand soeur, et tous les autres membres de ma grande famille. Enfin et surtout, merci à Ren Yihong pour m’avoir beaucoup soutenu, c’est elle qui m’a fait trouver toute la beauté de la vie. Merci.

Résumé
Résumé
Cette thèse présente quelques résultats sur la théorie locale pour les espaces de Banach et d’opérateurs. La première partie consiste en l’étude de la propriété OUMD pour l’espace colonne C. La deuxième partie traite de la propriété UMD classique pour les espaces Lp(Lq) itérés. Le résultat principal donne une construction nouvelle et très naturelle de treillis de Banach qui sont super-réflexifs et non-UMD : L’espace Lp(Lq(Lp(Lq(· · · itéré une infinité de fois est super-réflexif si 1 < p, q < ∞ mais n’est pas UMD si p = q.
Mots-clefs Transformation martingale, propriété UMD et UMD analytique, propriété OUMD,
espaces d’opérateurs, espace de Hilbert en colonne, espaces Lp noncommutatifs à valeurs vectorielles.
Abstract
This thesis presents some results on the local theory of Banach spaces and operator spaces. The first part consists of the study of the OUMD property for the column Hilbert space C. In the second part we treat the classical UMD property for Banach spaces. We give estimates of the UMD constants for iterated Lp(Lq) spaces. The main result yields a new and very natural construction of a family of super-reflexive and non-UMD Banach lattices: The space Lp(Lq(Lp(Lq(· · · iterated infinitely many times is super-reflexive if 1 < p, q < ∞ but is not UMD if p = q.
Keywords
Martingale transformation, UMD and analytic UMD property, OUMD property, operator spaces, column Hilbert space, vector-valued noncommutative Lp spaces.

Table des matières

Introduction

9

0.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2 Contenu de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 On the OUMD property for the column Hilbert space C

21

1.1 UMD property for Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Preliminaries on operator space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 OUMD property for operator spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4 The Banach space Sp[C] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 An equivalent definition of OUMD property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6 Some related questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 On the UMD constants for a class of iterated Lp(Lq) spaces

47

2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Some elementary inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 UMD constants of iterated Lp(Lq) spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Analytic UMD constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5 Some constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6 Related questions and discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Appendix

81

Bibliography

91

Introduction

Cette thèse s’inscrit dans la théorie locale des espaces de Banach et d’opérateurs. Les sujets principaux concernent la propriété UMD (l’expression anglaise est “unconditional martingale difference”) pour les espaces de Banach et la généralisation de cette propriété dans la théorie des espaces d’opérateurs. Dans le cadre des espaces de Banach, cette propriété a été introduite par Maurey et Pisier pendant le fameux Séminaire Maurey-Schwartz, elle consiste à étudier les espaces de Banach tels que toutes les suites de différences de martingales sont inconditionnelles dans les espaces de Bochner correspondants, i.e. dans les espaces Lp à valeurs dans les espaces de Banach considérés. Burkholder et d’autres auteurs ont largement développé la théorie de la propriété UMD, les références classiques sont [Bur83, Bur01]. Dans [Pis98], Pisier a introduit la théorie des espaces Lp noncommutatifs à valeurs vectorielles (en fait, c’est à valeurs dans les espaces d’opérateurs). Dans cette théorie, en remplaçant les martingales classiques par les martingales noncommutatives et à valeurs dans un espace d’opérateurs, la propriété OUMD (pour l’expression “operator space unconditional martingale difference”) a été introduite. Beaucoup de difficultés pour généraliser les résultats classiques pour la propriété UMD à la propriété OUMD sont liées au manque d’outils de temps d’arrêt et on mentionnera un problème ouvert là-dessus.
Dans cette introduction, on commence par donner la définition de la propriété UMD pour les espaces de Banach, la théorie des espaces Lp noncommutatifs à valeurs vectorielles et la définition de la propriété OUMD, puis on va décrire les résultats principaux des différents chapitres de cette thèse.

0.1 Quelques rappels

0.1.1 UMD et AUMD pour les espaces de Banach
Soit 1 ≤ p < ∞. Pour un espace de Banach X et un espace de probabilité (Ω, F, P), on peut construire l’espace de Bochner Lp(Ω, F , P; X), on va utiliser Lp(X) pour simplifier la notation. La définition d’une martingale usuelle (ou scalaire) se généralise de façon évidente à la définition d’une martingale à valeurs dans X.

Définition 0.1. Soit 1 < p < ∞. Un espace de Banach X est dit UMDp s’il existe une constante c telle que pour toute martingale (fn)n≥0 convergente dans Lp(X), on a pour tout choix de signs εn = ±1

n

sup

εkdfk Lp(X) ≤ c sup fn Lp(X)

(1)

n0

n

où dfn = fn − fn−1 et par convention f−1 = 0. La meilleure constante c dans (1) est notée par βp(X), elle est dite la constante UMDp de X. On dit X est UMD s’il est UMDp pour un certain 1 < p < ∞.
EspacesBanachBanach SpacesOperator SpacesUmd Property